第4章 机器学习与材料性能预测

Machine Learning and Materials Property Prediction
学习路径：问题定义 → 材料描述符 → 回归/分类 → 无监督分析 → 评估验证 → 材料案例
本章目标：理解机器学习建模流程，掌握材料性能预测的基本方法与可靠性评价。
@Shiyan Pan
CONTENTS

目录

  • 4.1 机器学习基本概念与建模流程 △
  • 4.2 特征工程与材料描述符 △★
  • 4.3 回归模型：线性回归、岭回归、随机森林、支持向量回归
  • 4.4 分类模型：逻辑回归、决策树、支持向量机
  • 4.5 聚类、降维与关联规则
  • 4.6 模型评估：误差、泛化、交叉验证 △★
  • 4.7 材料性能预测案例：强度、硬度、相组成、腐蚀性能

主线：从材料数据出发，建立可解释、可验证、可复现的性能预测模型。
第4章 流程 描述符 回归 分类 无监督 评估 案例

4.1 机器学习基本概念与建模流程 △

  • 从“规则编程”转向“从数据中学习规律”。
  • 明确输入、输出、样本、特征、标签、模型、损失函数。
  • 建立材料性能预测的一般流程。

先理解建模对象，再选择算法。
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4.1.2 从函数映射理解机器学习

设材料样本的输入特征为 xx，目标性能为 yy，机器学习模型可写为：

y^=fθ(x)\hat{y}=f_{\theta}(x)

其中：

  • xx：成分、工艺、组织或谱图等特征。
  • yy：强度、硬度、相类别、腐蚀速率等目标。
  • θ\theta：模型参数。
  • y^\hat{y}：模型预测值。

训练模型的实质：寻找合适的 θ\theta，使预测尽可能接近真实观测。

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4.1.3 数据集的数学表示

材料数据集通常表示为：

D={(xi,yi)}i=1n\mathcal{D}=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{n}

矩阵形式为：

X=[x11x12⋯x1px21x22⋯x2p⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnp],y=[y1y2⋮yn]X=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1p}\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{np} \end{bmatrix},\quad y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}

nn 为样本数，pp 为特征数。

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4.1.4 材料机器学习的输入与输出

机器学习术语 材料科学含义 示例
样本 一组材料记录 某成分合金的一次实验
特征 可用于建模的变量 C、Cr、Ni、热处理温度
标签 要预测的目标 抗拉强度、硬度、相类别
模型 输入到输出的映射 随机森林、支持向量机
损失 预测偏差度量 MSE、交叉熵

正确定义样本、特征和标签，是建模的第一步。

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4.1.6 回归任务示例

目标：预测合金屈服强度。

σ^y=f(wC,wCr,wNi,Taging,taging,⋯ )\hat{\sigma}_{y}=f(w_{\mathrm{C}},w_{\mathrm{Cr}},w_{\mathrm{Ni}},T_{\mathrm{aging}},t_{\mathrm{aging}},\cdots)

其中：

  • wCw_{\mathrm{C}}、wCrw_{\mathrm{Cr}}、wNiw_{\mathrm{Ni}}：元素质量分数。
  • TagingT_{\mathrm{aging}}：时效温度。
  • tagingt_{\mathrm{aging}}：时效时间。

输出是连续变量，因此属于回归问题。

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4.1.7 分类任务示例

目标：预测凝固后主要相类别。

c^=f(wCr,wNi,wMo,R,G,⋯ )\hat{c}=f(w_{\mathrm{Cr}},w_{\mathrm{Ni}},w_{\mathrm{Mo}},R,G,\cdots)

可能类别：

  • c=0c=0：铁素体主导。
  • c=1c=1：奥氏体主导。
  • c=2c=2：马氏体或混合组织。

输出是离散类别，因此属于分类问题。

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4.1.10 训练集、验证集和测试集

  • 训练集：用于拟合模型参数。
  • 验证集：用于选择模型和调参。
  • 测试集：用于最终评估泛化能力。

一般划分方式：

D=Dtrain∪Dval∪Dtest\mathcal{D}=\mathcal{D}_{\mathrm{train}}\cup \mathcal{D}_{\mathrm{val}}\cup \mathcal{D}_{\mathrm{test}}

并要求：

Dtrain∩Dtest=∅\mathcal{D}_{\mathrm{train}}\cap \mathcal{D}_{\mathrm{test}}=\varnothing

测试集必须模拟“未来未知材料”的预测场景。

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4.1.11 损失函数的作用

训练模型需要定义“预测错了多少”。

回归常用均方误差：

MSE=1n∑i=1n(yi−y^i)2\mathrm{MSE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2

分类常用交叉熵：

L=−1n∑i=1n∑k=1Kyiklog⁡(p^ik)L=-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{K}y_{ik}\log(\hat{p}_{ik})

损失函数决定模型训练时“惩罚什么”。

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4.1.14 Python建模流程骨架

import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

df = pd.read_csv("materials_strength.csv")
X = df[["C", "Cr", "Ni", "aging_T", "aging_t"]]
y = df["yield_strength"]

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    X, y, test_size=0.2, random_state=0
)
model = RandomForestRegressor(random_state=0)
model.fit(X_train, y_train)
pred = model.predict(X_test)
print(mean_absolute_error(y_test, pred))
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4.2 特征工程与材料描述符 △★

  • 理解材料描述符是材料对象与机器学习模型之间的桥梁。
  • 学习成分、工艺、组织、结构和谱图描述符。
  • 掌握标准化、编码、特征选择与数据泄漏防范。

特征决定模型能看到什么，模型决定如何利用这些信息。

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4.2.1 为什么需要特征工程

机器学习模型通常不能直接理解“Fe-18Cr-8Ni”或显微组织图像。

需要将材料对象转化为数值向量：

Material→x=[x1,x2,…,xp]\mathrm{Material}\rightarrow x=[x_1,x_2,\ldots,x_p]

特征工程的目标：

  • 保留材料本质信息。
  • 降低无关噪声。
  • 使模型更容易学习规律。
  • 提高模型可解释性和泛化性。
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4.2.2 材料描述符的层级

描述符类型 来源 示例 适用任务
成分描述符 化学式或质量分数 平均原子序数、混合熵 性能预测、相预测
工艺描述符 制备与热处理 温度、时间、冷却速率 工艺优化
组织描述符 显微组织 晶粒尺寸、相分数 强度、韧性预测
结构描述符 晶体结构 晶格常数、配位数 DFT数据建模
谱图描述符 XRD/EDS/EBSD 峰位、峰强、纹理 相识别、缺陷识别
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4.2.3 成分描述符：从元素含量开始

对于多元合金，设第 ee 个元素的摩尔分数为 xex_e，可构造：

Zˉ=∑exeZe\bar{Z}=\sum_{e}x_e Z_e

ΔZ=∑exe(Ze−Zˉ)2\Delta Z=\sqrt{\sum_{e}x_e(Z_e-\bar{Z})^2}

其中：

  • ZeZ_e：元素原子序数。
  • Zˉ\bar{Z}：平均原子序数。
  • ΔZ\Delta Z：元素属性离散程度。

这种思路也可用于原子半径、电负性、价电子数等元素属性。

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4.2.4 混合熵描述符

高熵合金中常用构型混合熵描述成分复杂性：

ΔSmix=−R∑e=1mxeln⁡xe\Delta S_{\mathrm{mix}}=-R\sum_{e=1}^{m}x_e\ln x_e

其中：

  • RR：气体常数。
  • mm：元素种类数。
  • xex_e：第 ee 个元素摩尔分数。

若等摩尔成分满足 xe=1/mx_e=1/m，则：

ΔSmix=Rln⁡m\Delta S_{\mathrm{mix}}=R\ln m

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4.2.5 工艺描述符

工艺变量常具有强烈的非线性影响。

常见工艺描述符包括：

  • 凝固冷却速率 RcoolR_{\mathrm{cool}}。
  • 温度梯度 GG。
  • 界面生长速度 VV。
  • 热处理温度 TT 和时间 tt。
  • 激光功率、扫描速度、送粉量。
  • 焊接电流、电压、热输入。
增材制造中，线能量密度常写为 $E=P/v$，但它不能完全替代真实热历史。
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4.2.7 性能与单位的一致性

同一物理量在不同文献中可能使用不同单位。

变量 常见单位 统一建议
强度 MPa、GPa MPa
硬度 HV、HRC、GPa 明确量纲并避免混用
温度 K、℃ K 或 ℃，全表一致
时间 s、min、h s 或 h，记录换算
腐蚀速率 mm/y、A/cm² 按任务统一

单位不统一会造成模型学习到错误规律。

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4.2.9 特征标准化

标准化将特征变换为均值为 0、标准差为 1 的尺度：

z=x−μsz=\frac{x-\mu}{s}

其中 μ\mu 和 ss 只能由训练集计算。

适合标准化的模型：

  • 线性模型。
  • 支持向量机。
  • KNN。
  • 神经网络。

随机森林和决策树通常对单调缩放不敏感，但统一预处理仍有助于流程管理。

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4.2.10 特征归一化

Min-Max 归一化将特征缩放到指定区间：

x′=x−xmin⁡xmax⁡−xmin⁡x'=\frac{x-x_{\min}}{x_{\max}-x_{\min}}

常见范围为 [0,1][0,1]。

注意：

  • xmin⁡x_{\min} 和 xmax⁡x_{\max} 应来自训练集。
  • 对异常值敏感。
  • 适用于需要固定输入范围的模型或可视化。
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4.2.11 特征交互项

材料性能常由多个变量共同控制，而非单个变量独立决定。

可构造交互项：

xCrNi=wCrwNix_{\mathrm{CrNi}}=w_{\mathrm{Cr}}w_{\mathrm{Ni}}

xGT=G⋅Rcoolx_{GT}=G\cdot R_{\mathrm{cool}}

示例：

  • 合金元素之间存在协同强化。
  • 工艺参数共同决定热历史。
  • 成分与热处理共同决定析出相。

交互特征应有物理意义，不能无限制扩展。

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4.2.13 相关系数筛选

Pearson 相关系数用于衡量线性相关：

rxy=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}

解释：

  • rxy≈1r_{xy}\approx 1：强正相关。
  • rxy≈−1r_{xy}\approx -1：强负相关。
  • rxy≈0r_{xy}\approx 0：无线性相关。

相关系数只能识别线性关系，不能证明因果性。

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4.2.16 使用 Pipeline 防止泄漏

from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.model_selection import cross_val_score

pipe = Pipeline([
    ("scaler", StandardScaler()),
    ("model", Ridge(alpha=1.0))
])

scores = cross_val_score(
    pipe, X, y, cv=5, scoring="neg_mean_absolute_error"
)
print(-scores.mean())

Pipeline 会在每个交叉验证折内独立执行标准化和训练。

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4.2.17 matminer 与材料描述符

matminer 是材料信息学中常用的 Python 工具之一，可从成分、结构、能带和态密度等数据生成描述符。

示例思路：

from matminer.featurizers.composition import ElementProperty
from pymatgen.core import Composition

comp = Composition("Fe0.7Ni0.3")
featurizer = ElementProperty.from_preset("magpie")
features = featurizer.featurize(comp)

自动描述符生成可以提高效率，但仍需进行物理审查与特征筛选。

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4.3 回归模型

  • 学习连续材料性能预测的常用模型。
  • 从线性回归过渡到岭回归，再到随机森林和支持向量回归。
  • 理解模型复杂度、正则化和非线性拟合。

回归模型回答：材料性能数值是多少？

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4.3.1 回归问题的定义

回归任务预测连续变量：

y^=f(x)\hat{y}=f(x)

材料案例：

  • 抗拉强度 σUTS\sigma_{\mathrm{UTS}}。
  • 屈服强度 σy\sigma_y。
  • 维氏硬度 HVH_{\mathrm{V}}。
  • 腐蚀速率 vcorrv_{\mathrm{corr}}。
  • 相变温度 TcT_{\mathrm{c}}。

关键问题：如何在有限样本下获得稳定且可解释的预测？

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4.3.2 线性回归模型

线性回归假设目标值是特征的线性组合：

y^=w0+∑j=1pwjxj\hat{y}=w_0+\sum_{j=1}^{p}w_jx_j

向量形式：

y^=Xw\hat{y}=Xw

模型优点：

  • 简单、可解释。
  • 适合作为基准模型。
  • 可观察每个特征的线性贡献。

缺点：难以表达强非线性关系。

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4.3.3 最小二乘估计

普通最小二乘通过最小化残差平方和确定参数：

min⁡w∑i=1n(yi−xiTw)2\min_{w}\sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i^{\mathsf{T}}w)^2

矩阵形式的闭式解为：

w^=(XTX)−1XTy\hat{w}=(X^{\mathsf{T}}X)^{-1}X^{\mathsf{T}}y

条件：XTXX^{\mathsf{T}}X 可逆。

当特征强相关或特征数接近样本数时，普通最小二乘容易不稳定。

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4.3.4 线性回归的材料解释

假设：

σ^y=w0+w1wC+w2wCr+w3Taging\hat{\sigma}_{y}=w_0+w_1w_{\mathrm{C}}+w_2w_{\mathrm{Cr}}+w_3T_{\mathrm{aging}}

若 w1>0w_1>0，可解释为在其他变量不变时，C 含量提高与强度提高相关。

注意：

  • 系数解释依赖变量尺度。
  • 相关关系不等同于因果关系。
  • 共线性会扭曲系数解释。
  • 必须结合材料机理判断。
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4.3.5 岭回归：加入正则化

岭回归在最小二乘基础上惩罚大系数：

min⁡w[∑i=1n(yi−xiTw)2+α∑j=1pwj2]\min_{w}\left[\sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i^{\mathsf{T}}w)^2+\alpha\sum_{j=1}^{p}w_j^2\right]

其中 α\alpha 控制正则化强度。

作用：

  • 降低系数波动。
  • 缓解多重共线性。
  • 提高小样本下泛化能力。

α\alpha 太大可能导致欠拟合。

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4.3.6 岭回归代码示例

from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import GridSearchCV

pipe = Pipeline([
    ("scaler", StandardScaler()),
    ("ridge", Ridge())
])

param_grid = {"ridge__alpha": [0.01, 0.1, 1, 10, 100]}
search = GridSearchCV(pipe, param_grid, cv=5, scoring="neg_mean_absolute_error")
search.fit(X_train, y_train)
print(search.best_params_)
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4.3.7 偏差—方差权衡

模型误差可概念性分解为：

Error=Bias2+Variance+Noise\mathrm{Error}=\mathrm{Bias}^{2}+\mathrm{Variance}+\mathrm{Noise}

解释：

  • 偏差大：模型过于简单，欠拟合。
  • 方差大：模型过于复杂，过拟合。
  • 噪声：数据本身测量误差或不可解释波动。

材料数据中噪声常来自：实验误差、批次差异、文献条件不一致。

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4.3.8 随机森林回归

随机森林由多棵决策树组成，通过集成降低方差：

y^=1B∑b=1BTb(x)\hat{y}=\frac{1}{B}\sum_{b=1}^{B}T_b(x)

其中：

  • BB：树的数量。
  • Tb(x)T_b(x)：第 bb 棵树的预测结果。

优点：

  • 可处理非线性关系。
  • 对特征尺度不敏感。
  • 可给出特征重要性。
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4.3.9 决策树回归的基本思想

决策树把特征空间不断切分为子区域。

每个叶节点输出该区域样本均值：

y^Rm=1∣Rm∣∑xi∈Rmyi\hat{y}_{R_m}=\frac{1}{|R_m|}\sum_{x_i\in R_m}y_i

切分目标：让子区域内部性能值尽量一致。

材料解释示例：

  • 当 wC>0.3w_{\mathrm{C}}>0.3 且 Taging>700T_{\mathrm{aging}}>700 K 时，强度较高。
  • 当孔隙率超过阈值时，延伸率显著降低。
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4.3.10 随机森林代码示例

from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
from sklearn.metrics import mean_absolute_error, r2_score

rf = RandomForestRegressor(
    n_estimators=300,
    max_depth=None,
    min_samples_leaf=2,
    random_state=0
)
rf.fit(X_train, y_train)
pred = rf.predict(X_test)

print("MAE:", mean_absolute_error(y_test, pred))
print("R2:", r2_score(y_test, pred))
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4.3.12 支持向量回归 SVR

SVR 的核心思想：允许误差落在 ε\varepsilon 管内而不惩罚。

损失函数可表示为：

Lε(y,y^)=max⁡(0,∣y−y^∣−ε)L_{\varepsilon}(y,\hat{y})=\max(0,|y-\hat{y}|-\varepsilon)

特点：

  • 适合中小样本。
  • 可用核函数处理非线性。
  • 对特征尺度敏感，通常需要标准化。
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4.3.13 SVR 的核函数思想

核函数将原始空间中的非线性问题转化为高维空间中的线性问题。

常用 RBF 核：

K(xi,xj)=exp⁡(−γ∥xi−xj∥2)K(x_i,x_j)=\exp(-\gamma\|x_i-x_j\|^2)

参数含义：

  • CC：误差惩罚强度。
  • ε\varepsilon：不敏感误差带宽。
  • γ\gamma：核函数局部性。

CC 和 γ\gamma 过大时容易过拟合。

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4.3.14 SVR 代码示例

from sklearn.svm import SVR
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import GridSearchCV

pipe = Pipeline([
    ("scaler", StandardScaler()),
    ("svr", SVR(kernel="rbf"))
])

param_grid = {
    "svr__C": [1, 10, 100],
    "svr__gamma": [0.01, 0.1, 1],
    "svr__epsilon": [0.01, 0.1]
}
search = GridSearchCV(pipe, param_grid, cv=5, scoring="neg_mean_absolute_error")
search.fit(X_train, y_train)
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4.3.15 回归模型对比

模型 优点 局限 材料应用建议
线性回归 简单可解释 难表征非线性 基准模型
岭回归 稳定、抗共线性 仍主要线性 小样本、多特征
随机森林 非线性、鲁棒 外推能力有限 性能预测常用
SVR 适合中小样本 调参敏感 小样本非线性问题
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4.4 分类模型

  • 理解分类任务的概率输出和决策边界。
  • 学习逻辑回归、决策树和支持向量机。
  • 掌握混淆矩阵、准确率、精确率、召回率等指标的含义。

分类模型回答：材料属于哪一类？

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4.4.1 分类问题的定义

分类任务预测离散类别：

c^=f(x),c∈{1,2,…,K}\hat{c}=f(x),\quad c\in \{1,2,\ldots,K\}

材料分类案例：

  • 奥氏体、铁素体、马氏体相组成分类。
  • 显微组织图像分类。
  • 腐蚀等级分类。
  • 缺陷类型分类。
  • 合格/不合格质量判定。
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4.4.2 二分类与多分类

二分类：

y∈{0,1}y\in\{0,1\}

例如：材料是否发生点蚀、样品是否达标。

多分类：

y∈{1,2,…,K}y\in\{1,2,\ldots,K\}

例如：相类别为铁素体、奥氏体、马氏体或混合组织。

分类问题不仅要给出类别，还应尽量给出置信度或概率。

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4.4.3 逻辑回归：分类中的线性模型

逻辑回归首先计算线性得分：

z=w0+wTxz=w_0+w^{\mathsf{T}}x

再通过 Sigmoid 函数转化为概率：

p(y=1∣x)=11+exp⁡(−z)p(y=1|x)=\frac{1}{1+\exp(-z)}

决策规则：

y^={1,p≥0.50,p<0.5\hat{y}=\begin{cases}1, & p\geq 0.5\\0, & p<0.5\end{cases}

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4.4.4 逻辑回归的材料解释

示例：预测不锈钢是否以奥氏体为主。

输入特征：

  • Ni 当量。
  • Cr 当量。
  • 冷却速率。
  • N 含量。

模型输出：

pγ=p(y=γ∣x)p_{\gamma}=p(y=\gamma|x)

解释：pγ=0.82p_{\gamma}=0.82 表示模型认为奥氏体主导的概率较高，但仍需结合相图和实验验证。

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4.4.5 逻辑回归代码示例

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import classification_report

pipe = Pipeline([
    ("scaler", StandardScaler()),
    ("clf", LogisticRegression(max_iter=1000))
])
pipe.fit(X_train, y_train)
pred = pipe.predict(X_test)
print(classification_report(y_test, pred))
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4.4.6 混淆矩阵

二分类混淆矩阵：

实际/预测 预测正类 预测负类
实际正类 TP FN
实际负类 FP TN

材料案例：预测“是否耐蚀合格”。

  • TP：实际合格且预测合格。
  • FP：实际不合格但预测合格。
  • FN：实际合格但预测不合格。
  • TN：实际不合格且预测不合格。
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4.4.7 分类指标

准确率：

Accuracy=TP+TNTP+TN+FP+FN\mathrm{Accuracy}=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}

精确率：

Precision=TPTP+FP\mathrm{Precision}=\frac{TP}{TP+FP}

召回率：

Recall=TPTP+FN\mathrm{Recall}=\frac{TP}{TP+FN}

F1 值：

F1=2⋅Precision⋅RecallPrecision+RecallF_1=\frac{2\cdot \mathrm{Precision}\cdot \mathrm{Recall}}{\mathrm{Precision}+\mathrm{Recall}}

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4.4.9 决策树分类

决策树通过一系列规则划分样本：

  • 若 wNi>8%w_{\mathrm{Ni}}>8\%，进入右分支。
  • 若 Rcool>103R_{\mathrm{cool}}>10^3 K/s，继续划分。
  • 叶节点给出类别。

常用划分准则：

G=1−∑k=1Kpk2G=1-\sum_{k=1}^{K}p_k^2

其中 GG 为 Gini 不纯度，pkp_k 为节点中第 kk 类比例。

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4.4.10 信息熵与分类不确定性

节点信息熵为：

H=−∑k=1Kpklog⁡2pkH=-\sum_{k=1}^{K}p_k\log_2 p_k

解释：

  • 样本都属于同一类时，H=0H=0。
  • 类别混合越均匀，HH 越大。
  • 决策树希望划分后子节点更“纯”。

熵可以看作类别混杂程度的度量。

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4.4.12 支持向量机分类

线性 SVM 寻找最大间隔分类超平面：

wTx+b=0w^{\mathsf{T}}x+b=0

优化思想：

min⁡w,b12∥w∥2\min_{w,b}\frac{1}{2}\|w\|^2

并使样本尽可能满足正确分类约束。

最大间隔有助于提升泛化能力，适合中小样本分类。

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4.4.13 软间隔 SVM

实际材料数据可能不可完全线性分离，引入松弛变量：

min⁡w,b,ξ12∥w∥2+C∑i=1nξi\min_{w,b,\xi}\frac{1}{2}\|w\|^2+C\sum_{i=1}^{n}\xi_i

其中：

  • ξi\xi_i：允许第 ii 个样本违反间隔的程度。
  • CC：误分类惩罚强度。

CC 大：训练集拟合更强，但可能过拟合。

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4.4.14 SVM 分类代码示例

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import GridSearchCV

pipe = Pipeline([
    ("scaler", StandardScaler()),
    ("svc", SVC(kernel="rbf", probability=True))
])
param_grid = {
    "svc__C": [0.1, 1, 10, 100],
    "svc__gamma": [0.01, 0.1, 1]
}
search = GridSearchCV(pipe, param_grid, cv=5, scoring="f1_macro")
search.fit(X_train, y_train)
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4.4.16 分类模型对比

模型 优点 局限 材料应用建议
逻辑回归 可解释，输出概率 决策边界简单 基准分类模型
决策树 规则直观 易过拟合 解释工艺阈值
随机森林 稳定、非线性 外推弱 多变量分类
SVM 中小样本有效 需要标准化和调参 相分类、缺陷分类
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4.5 聚类、降维与关联规则

  • 在没有明确标签时发现材料数据结构。
  • 使用聚类识别材料族群，使用降维理解高维描述符。
  • 使用关联规则发现变量组合关系。

无监督学习帮助我们先看清数据，再建立模型。
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4.5.2 K-means 聚类

K-means 将样本划分为 KK 个簇，使簇内平方距离最小：

min⁡C1,…,CK∑k=1K∑xi∈Ck∥xi−μk∥2\min_{C_1,\ldots,C_K}\sum_{k=1}^{K}\sum_{x_i\in C_k}\|x_i-\mu_k\|^2

其中 μk\mu_k 为第 kk 个簇的中心。

材料应用：

  • 按成分描述符合金族群。
  • 按谱图特征划分不同相结构。
  • 按工艺参数识别工艺窗口。
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4.5.4 K-means 代码示例

from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.pipeline import Pipeline

pipe = Pipeline([
    ("scaler", StandardScaler()),
    ("kmeans", KMeans(n_clusters=3, random_state=0, n_init="auto"))
])
cluster_id = pipe.fit_predict(X)
df["cluster"] = cluster_id
print(df.groupby("cluster").mean(numeric_only=True))

聚类编号本身没有物理意义，物理意义来自簇内样本的共同特征。

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4.5.5 主成分分析 PCA

PCA 寻找最大方差方向，将高维数据投影到低维空间。

协方差矩阵：

S=1n−1XTXS=\frac{1}{n-1}X^{\mathsf{T}}X

特征值分解：

Svj=λjvjSv_j=\lambda_jv_j

其中 vjv_j 为第 jj 个主成分方向，λj\lambda_j 表示该方向方差大小。

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4.5.7 PCA 代码示例

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import pandas as pd

X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)
pca = PCA(n_components=2)
Z = pca.fit_transform(X_scaled)

print("Explained ratio:", pca.explained_variance_ratio_)
pc_df = pd.DataFrame(Z, columns=["PC1", "PC2"])
pc_df["property"] = y.values
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4.5.9 关联规则

关联规则描述变量组合之间的共现关系。

规则形式：

A⇒BA\Rightarrow B

支持度：

support(A⇒B)=P(A∩B)\mathrm{support}(A\Rightarrow B)=P(A\cap B)

置信度：

confidence(A⇒B)=P(B∣A)\mathrm{confidence}(A\Rightarrow B)=P(B|A)

提升度：

lift(A⇒B)=P(A∩B)P(A)P(B)\mathrm{lift}(A\Rightarrow B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)P(B)}

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4.5.10 关联规则材料案例

规则示例：

{wCr>12%, wNi>8%}⇒{high corrosion resistance}\{w_{\mathrm{Cr}}>12\%,\ w_{\mathrm{Ni}}>8\%\}\Rightarrow\{\mathrm{high\ corrosion\ resistance}\}

解释时需要注意：

  • 规则反映统计共现，不等于因果机制。
  • 需要检查样本数量和来源偏差。
  • 连续变量需要先离散化。
  • 高提升度规则可能来自极少数样本。
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4.6 模型评估：误差、泛化、交叉验证 △★

  • 理解训练误差、验证误差和测试误差。
  • 掌握回归、分类和聚类评估指标。
  • 学会使用交叉验证评估小样本材料模型。

没有可靠评估的模型，不应进入材料设计决策。
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4.6.2 回归评估指标：MAE

平均绝对误差：

MAE=1n∑i=1n∣yi−y^i∣\mathrm{MAE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i|

特点：

  • 单位与目标变量一致。
  • 对异常值相对不如 MSE 敏感。
  • 易于工程解释。

示例：强度预测 MAE 为 30 MPa，可直接与实验误差或工程容差比较。

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4.6.3 回归评估指标：RMSE

均方根误差：

RMSE=1n∑i=1n(yi−y^i)2\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}

特点：

  • 对大误差更敏感。
  • 适合强调严重误判的任务。
  • 单位与目标变量一致。

若 RMSE 远大于 MAE，说明可能存在少数大误差样本。

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4.6.4 回归评估指标：R2R^2

决定系数：

R2=1−∑i=1n(yi−y^i)2∑i=1n(yi−yˉ)2R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}

解释：

  • R2=1R^2=1：完美预测。
  • R2=0R^2=0：与预测均值相当。
  • R2<0R^2<0：比预测均值更差。

R2R^2 受目标变量分布影响，应与 MAE、RMSE 一起报告。

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4.6.5 分类评估指标回顾

分类评估应根据任务风险选择指标。

指标 适用场景 风险关注
Accuracy 类别较均衡 总体正确率
Precision 误报代价高 减少 FP
Recall 漏报代价高 减少 FN
F1 类别不平衡 平衡 Precision 与 Recall
ROC-AUC 二分类排序能力 阈值变化下表现
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4.6.6 留出法评估

将数据划分为训练集和测试集：

D=Dtrain∪Dtest\mathcal{D}=\mathcal{D}_{\mathrm{train}}\cup\mathcal{D}_{\mathrm{test}}

优点：

  • 简单直接。
  • 计算成本低。

缺点：

  • 小样本下结果对随机划分敏感。
  • 测试集过小导致评估不稳定。

材料小样本任务通常需要交叉验证。

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4.6.7 K 折交叉验证

K 折交叉验证将数据划分为 KK 个子集。

每次使用一个子集测试，其余子集训练：

CV=1K∑k=1KMk\mathrm{CV}=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}M_k

其中 MkM_k 为第 kk 折的评价指标。

优点：

  • 更充分利用有限数据。
  • 可以估计模型性能波动。
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4.6.8 交叉验证代码示例

from sklearn.model_selection import KFold, cross_validate
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor

cv = KFold(n_splits=5, shuffle=True, random_state=0)
model = RandomForestRegressor(random_state=0)

result = cross_validate(
    model, X, y, cv=cv,
    scoring=["neg_mean_absolute_error", "r2"],
    return_train_score=True
)
print(-result["test_neg_mean_absolute_error"].mean())
print(result["test_r2"].mean())
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4.6.9 交叉验证中的材料数据分组

普通随机 K 折可能不适合所有材料数据。

应考虑：

  • 同一论文数据是否应放在同一折？
  • 同一实验批次是否存在强相关？
  • 同一材料体系是否重复出现？
  • 目标是否是跨体系预测？

可使用 GroupKFold：

from sklearn.model_selection import GroupKFold
cv = GroupKFold(n_splits=5)

分组交叉验证更接近真实外推场景。

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4.6.11 网格搜索示例

from sklearn.model_selection import GridSearchCV
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor

param_grid = {
    "n_estimators": [100, 300, 500],
    "max_depth": [None, 5, 10],
    "min_samples_leaf": [1, 2, 5]
}
search = GridSearchCV(
    RandomForestRegressor(random_state=0),
    param_grid=param_grid,
    cv=5,
    scoring="neg_mean_absolute_error"
)
search.fit(X_train, y_train)
print(search.best_params_)
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4.6.13 残差分析

残差定义为：

ei=yi−y^ie_i=y_i-\hat{y}_i

残差分析关注：

  • 残差是否围绕 0 随机分布？
  • 是否在高强度区域系统低估？
  • 是否某一材料体系误差特别大？
  • 是否存在明显异常样本？

残差图常比单一平均误差更能揭示模型问题。

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4.6.15 预测区间与不确定性

点预测不足以支撑材料决策。

更合理的表达形式：

y^±u\hat{y}\pm u

其中 uu 表示预测不确定性。

不确定性来源：

  • 数据噪声。
  • 模型参数不确定性。
  • 样本分布外预测。
  • 特征缺失或测量误差。

在材料筛选中，高预测值但高不确定性的候选样本应谨慎处理。

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4.6.17 常见不规范表述

应避免：

  • “模型准确率达到 99%，说明模型可靠。”
  • “训练集 R2=0.98R^2=0.98，证明预测能力强。”
  • “随机森林效果最好，因此该材料机制由特征重要性决定。”
  • “样本只有 30 个，但深度学习模型效果很好。”

建议改写：

  • “在 5 折交叉验证下，MAE 为 35±835\pm 8 MPa，适用于当前成分范围内的初步筛选。”
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4.7 材料性能预测案例

  • 以强度、硬度、相组成和腐蚀性能为例。
  • 展示从数据表到模型评估的完整路径。
  • 形成章节作业：完成一个小型材料性能预测任务。

案例不是展示算法，而是训练完整建模思维。

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4.7.1 案例一：强度预测

任务：预测合金屈服强度或抗拉强度。

输入特征：

  • 化学成分：C、Cr、Ni、Mo、Mn 等。
  • 工艺参数：热处理温度、时间、冷却速率。
  • 组织参数：晶粒尺寸、相分数、析出相尺寸。

输出：

σ^y=f(x)\hat{\sigma}_{y}=f(x)

评价：MAE、RMSE、R2R^2，并检查高强度区域残差。

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4.7.2 强度预测的特征选择

可能有效的材料描述符：

  • 固溶强化相关：原子半径差、电负性差。
  • 析出强化相关：时效温度、时效时间。
  • 细晶强化相关：晶粒尺寸 dd。
  • 相组成相关：奥氏体/铁素体/马氏体体积分数。

Hall-Petch 关系提示：

σy=σ0+kd−1/2\sigma_y=\sigma_0+kd^{-1/2}

因此可加入 d−1/2d^{-1/2} 作为特征。

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4.7.3 强度预测代码骨架

features = [
    "C", "Cr", "Ni", "Mo", "aging_T", "aging_t",
    "grain_size", "phase_fraction"
]
X = df[features].copy()
X["grain_size_inv_sqrt"] = 1.0 / (X["grain_size"] ** 0.5)
y = df["yield_strength"]

model = RandomForestRegressor(
    n_estimators=300, min_samples_leaf=2, random_state=0
)
model.fit(X_train, y_train)

将机理启发特征加入机器学习流程，可提高模型可解释性。

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4.7.5 硬度预测的单位与条件

硬度数据的可靠建模要求记录：

项目 需要记录的内容
硬度类型 HV、HRC、HB、纳米硬度
载荷 例如 HV0.2、HV1、HV10
测试位置 基体、焊缝、热影响区
样品状态 铸态、轧制态、时效态
重复次数 平均值与标准差

如果测试条件混杂，模型误差可能来自数据定义不一致。

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4.7.6 案例三：相组成预测

任务：预测材料最终相类别或相分数。

类别预测：

c^∈{α,γ,M,mixed}\hat{c}\in\{\alpha,\gamma,M,\mathrm{mixed}\}

相分数预测：

f^γ=f(x),0≤f^γ≤1\hat{f}_{\gamma}=f(x),\quad 0\leq \hat{f}_{\gamma}\leq 1

输入特征：成分、冷却速率、温度梯度、热处理路径。

类别模型适合粗略判断，相分数回归更适合定量组织预测。

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4.7.8 相分类模型代码骨架

from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.metrics import confusion_matrix, classification_report

X = df[["Cr_eq", "Ni_eq", "cooling_rate", "G", "V"]]
y = df["phase_class"]

pipe = Pipeline([
    ("scaler", StandardScaler()),
    ("svc", SVC(kernel="rbf", class_weight="balanced"))
])
pipe.fit(X_train, y_train)
pred = pipe.predict(X_test)
print(confusion_matrix(y_test, pred))
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4.7.11 腐蚀速率转换示意

若使用电化学腐蚀电流密度，可通过经验公式换算腐蚀速率：

vcorr=KicorrEWρv_{\mathrm{corr}}=K\frac{i_{\mathrm{corr}}EW}{\rho}

其中：

  • KK：单位换算常数。
  • EWEW：当量重量。
  • ρ\rho：密度。

建模前必须确认目标变量定义一致，否则不同来源数据不可直接合并。

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4.7.13 综合案例代码框架

from sklearn.model_selection import train_test_split, cross_validate
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor

features = ["C", "Cr", "Ni", "Mo", "aging_T", "aging_t", "grain_size"]
X = df[features]
y = df["yield_strength"]

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    X, y, test_size=0.2, random_state=42
)
model = RandomForestRegressor(n_estimators=300, random_state=42)
model.fit(X_train, y_train)
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4.7.14 结果解释模板

建议按以下结构解释模型结果：

  • 数据范围：材料体系、样本量、成分与工艺范围。
  • 模型表现：MAE、RMSE、R2R^2 或分类指标。
  • 稳定性：交叉验证均值和标准差。
  • 误差来源：高误差样本、异常工艺、数据噪声。
  • 特征贡献：与材料机理是否一致。
  • 适用边界：不能外推到哪些材料体系。
  • 后续验证：推荐实验或计算验证方案。
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4.7.15 章节综合图景

机器学习与材料性能预测的逻辑链条：

Data→Descriptor→Model→Validation→Decision\mathrm{Data}\rightarrow \mathrm{Descriptor}\rightarrow \mathrm{Model}\rightarrow \mathrm{Validation}\rightarrow \mathrm{Decision}

对应材料科学过程：

Composition→Processing→Microstructure→Property\mathrm{Composition}\rightarrow \mathrm{Processing}\rightarrow \mathrm{Microstructure}\rightarrow \mathrm{Property}

可靠模型不是只会预测，而是能说明数据来源、适用边界和误差风险。

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4.7.17 思考题

  1. 为什么材料机器学习不能只报告训练集精度？
  2. 成分描述符与组织描述符各有什么优势和局限？
  3. 若样本只有 50 个，为什么不应盲目使用复杂深度模型？
  4. 对强度预测任务，MAE 和 R2R^2 分别说明什么？
  5. 如果训练数据只包含低 Cr 合金，模型能否用于高 Cr 合金预测？为什么？

请用“数据范围—模型假设—误差来源—材料机理”的逻辑回答。

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作业参考代码骨架

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import cross_validate, KFold
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor

rng = np.random.default_rng(0)
n = 120
df = pd.DataFrame({
    "C": rng.uniform(0.05, 0.8, n),
    "Cr": rng.uniform(0.0, 18.0, n),
    "Ni": rng.uniform(0.0, 12.0, n),
    "aging_T": rng.uniform(450, 750, n),
    "aging_t": rng.uniform(0.5, 20.0, n)
})
df["strength"] = 300 + 250*df["C"] + 5*df["Cr"] + 3*df["Ni"] \
    + 0.15*df["aging_T"] - 0.8*df["aging_t"] + rng.normal(0, 25, n)
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作业参考代码骨架：模型比较

X = df[["C", "Cr", "Ni", "aging_T", "aging_t"]]
y = df["strength"]
cv = KFold(n_splits=5, shuffle=True, random_state=0)

models = {
    "Ridge": Pipeline([
        ("scaler", StandardScaler()),
        ("model", Ridge(alpha=1.0))
    ]),
    "RandomForest": RandomForestRegressor(
        n_estimators=300, min_samples_leaf=2, random_state=0
    )
}

for name, model in models.items():
    res = cross_validate(model, X, y, cv=cv,
                         scoring=["neg_mean_absolute_error", "r2"])
    print(name, -res["test_neg_mean_absolute_error"].mean(),
          res["test_r2"].mean())
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参考资料与延伸阅读

  • scikit-learn User Guide：监督学习、无监督学习、模型选择与评估。
  • scikit-learn Preprocessing：特征缩放、标准化与数据预处理。
  • scikit-learn Cross-validation：交叉验证评估模型泛化能力。
  • scikit-learn Metrics：回归、分类与聚类评价指标。
  • matminer：材料数据挖掘与描述符生成工具。

推荐学习顺序：先掌握数据划分和评估，再学习更复杂模型。

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谢谢

下一章：深度学习、多模态AI与显微组织识别

从表格数据走向图像、谱图和多模态材料数据。