本章知识地图

从“事件概率”逐步过渡到“模型参数概率”：

$$\text{事件} \rightarrow \text{条件概率} \rightarrow \text{贝叶斯定理} \rightarrow \text{参数后验} \rightarrow \text{预测分布}$$

对应材料问题：

$$\text{实验现象} \rightarrow \text{测量数据} \rightarrow \text{模型更新} \rightarrow \text{不确定性评估} \rightarrow \text{实验决策}$$

先给出一个直观例子

问题：某种热处理工艺可能导致裂纹风险升高。

• 经验判断：该工艺裂纹概率约为 $10\%$。
• 新证据：在线声发射信号异常。
• 已知：有裂纹时信号异常概率高，无裂纹时也可能误报。

贝叶斯问题：

$$P(\text{裂纹}\mid \text{信号异常})=?$$

这不是简单看“信号准确率”，还必须考虑裂纹本身的基准概率。

概率的三个基本性质

对任意事件 $A$ 和样本空间 $\Omega$：

$$0\leq P(A)\leq 1$$

$$P(\Omega)=1$$

若 $A\cap B=\varnothing$，则：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

材料解释：不同失效模式若互斥，其总体失效概率可以分解求和。

3.1.2 联合概率：两个事件同时发生

联合概率描述两个事件同时发生的概率：

$$P(A\cap B)$$

例：

• $A$：样品抗拉强度 $>1000\ \mathrm{MPa}$。
• $B$：延伸率 $>10\%$。
• $P(A\cap B)$：同时满足高强度和高塑性的概率。

材料设计中常常关心的不是单一性能，而是多目标性能组合。

3.1.3 条件概率：已知一个事件后再判断

条件概率定义为：

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0$$

含义：在事件 $B$ 已经发生的样本中，事件 $A$ 发生的比例。

材料示例：

$$P(\text{裂纹}\mid \text{声发射异常})$$

表示在声发射异常的样品中，真正存在裂纹的概率。

条件概率的教学重点

条件概率最容易产生两个误解：

1. 把 $P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 混淆。
2. 忽略 $P(A)$ 的基准概率。

例如：

$$P(\text{信号异常}\mid \text{裂纹})$$

和

$$P(\text{裂纹}\mid \text{信号异常})$$

通常不是同一个数。

3.1.4 乘法公式

由条件概率定义可得：

$$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$$

也可写成：

$$P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)$$

因此：

$$P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A)$$

贝叶斯定理正是从这个等式出发得到的。

独立性：是否互相影响？

若 $A$ 与 $B$ 独立，则：

$$P(A\mid B)=P(A)$$

等价于：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

材料示例：

• 若夹杂概率与热处理温度无关，则二者可近似独立。
• 若高温处理显著改变夹杂诱发裂纹概率，则不能假设独立。

建模中随意假设独立会导致严重偏差。

3.1.5 全概率公式：把复杂事件分解

若 $A_1,A_2,\ldots,A_K$ 构成样本空间的一组划分：

$$A_i\cap A_j=\varnothing\quad (i\neq j),\qquad \bigcup_{i=1}^{K}A_i=\Omega$$

则任意事件 $B$ 的概率为：

$$P(B)=\sum_{i=1}^{K}P(B\mid A_i)P(A_i)$$

这就是全概率公式。

全概率公式的材料解释

设 $B$ 为“检测信号异常”，裂纹状态只有两种：

• $A_1=\text{有裂纹}$
• $A_2=\text{无裂纹}$

则：

$$P(B)=P(B\mid A_1)P(A_1)+P(B\mid A_2)P(A_2)$$

总异常率由两部分组成：

1. 真有裂纹导致的异常。
2. 无裂纹但误报导致的异常。

3.1.6 贝叶斯定理：反向概率更新

由乘法公式和全概率公式可得：

$$P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^{K}P(B\mid A_j)P(A_j)}$$

对两个事件 $A$ 与 $A^c$：

$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)}$$

例1：缺陷检测中的基准概率

设某批材料中真实裂纹概率为 $1\%$：

$$P(A)=0.01$$

检测方法性能：

$$P(B\mid A)=0.95,\qquad P(B\mid A^c)=0.05$$

其中 $B$ 表示“检测结果为阳性”。求：

$$P(A\mid B)$$

3.1 小结

本节建立了贝叶斯定理的基本路径：

$$\text{条件概率定义} \rightarrow \text{乘法公式} \rightarrow \text{全概率公式} \rightarrow \text{贝叶斯定理}$$

核心认识：

• $P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 不能互换。
• 后验判断必须同时考虑先验概率和新证据。
• 贝叶斯公式本质上是证据条件下的概率重分配。

3.2.1 从事件假设到模型参数

在机器学习和材料建模中，假设常常不是离散事件，而是模型参数：

$$\theta=(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_p)$$

例如线性性能模型：

$$y=\theta_0+\theta_1 x_1+\theta_2 x_2+\varepsilon$$

其中：

• $y$：材料性能，如硬度或强度。
• $x_1,x_2$：成分或工艺变量。
• $\theta$：待估计参数。

3.2.2 数据集记号

材料数据集通常写为：

$$D=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{n}$$

其中：

• $x_i$：第 $i$ 个样品的输入特征。
• $y_i$：第 $i$ 个样品的目标性能。
• $n$：样本数量。

若存在图像、谱图或组织特征，也可写成：

$$x_i=(\text{成分},\text{工艺},\text{组织描述符},\text{谱图特征})$$

3.2.3 贝叶斯参数推断公式

对模型参数 $\theta$，贝叶斯公式写为：

$$p(\theta\mid D)=\frac{p(D\mid \theta)p(\theta)}{p(D)}$$

其中：

$$p(D)=\int p(D\mid \theta)p(\theta)\,d\theta$$

常写为比例形式：

$$p(\theta\mid D)\propto p(D\mid \theta)p(\theta)$$

3.2.4 先验：把已有知识写成概率分布

先验可以来自：

• 物理约束：扩散系数为正，界面能为正。
• 历史数据：类似合金体系的实验结果。
• 专家经验：某一工艺窗口更可能获得目标组织。
• 文献知识：参数的大致数量级。

示例：若参数 $\theta$ 可能接近 $\mu_0$，可设置正态先验：

$$\theta\sim \mathcal{N}(\mu_0,\tau_0^2)$$

3.2.5 似然：数据如何支持参数

似然函数定义为：

$$L(\theta;D)=p(D\mid \theta)$$

若样本独立同分布：

$$L(\theta;D)=\prod_{i=1}^{n}p(y_i\mid x_i,\theta)$$

常用对数似然：

$$\ell(\theta;D)=\log L(\theta;D)=\sum_{i=1}^{n}\log p(y_i\mid x_i,\theta)$$

3.2.6 证据：为什么需要归一化？

后验必须满足：

$$\int p(\theta\mid D)\,d\theta=1$$

证据项为：

$$p(D)=\int p(D\mid\theta)p(\theta)\,d\theta$$

它的作用是把 $p(D\mid\theta)p(\theta)$ 归一化为真正的概率分布。

在模型比较中，证据还能衡量模型整体解释数据的能力。

3.2.7 后验：更新后的完整认识

后验分布包含两类信息：

1. 参数最可能位于哪里。
2. 参数仍有多大不确定性。

常用后验摘要包括：

$$\mathbb{E}[\theta\mid D]$$

$$\mathrm{Var}(\theta\mid D)$$

$$\theta_{\mathrm{MAP}}=\arg\max_{\theta}p(\theta\mid D)$$

3.2.8 后验预测分布

真正用于预测的不是单一参数，而是后验预测分布：

$$p(y_{\ast}\mid x_{\ast},D)=\int p(y_{\ast}\mid x_{\ast},\theta)p(\theta\mid D)\,d\theta$$

含义：

• 每个可能参数 $\theta$ 都给出一个预测。
• 后验分布决定这些预测的权重。
• 最终预测同时考虑参数不确定性和观测噪声。

贝叶斯流程图

典型贝叶斯建模流程：

$$\text{已有知识} \rightarrow p(\theta)$$

$$\text{数据生成假设} \rightarrow p(D\mid\theta)$$

$$\text{贝叶斯更新} \rightarrow p(\theta\mid D)$$

$$\text{预测与决策} \rightarrow p(y_{\ast}\mid x_{\ast},D)$$

该流程特别适合小样本、高成本实验和有明确物理先验的材料问题。

3.2 小结

本节完成了从事件概率到参数概率的过渡：

• 先验 $p(\theta)$ 表示数据前的知识。
• 似然 $p(D\mid\theta)$ 表示参数对数据的解释能力。
• 证据 $p(D)$ 负责归一化和模型比较。
• 后验 $p(\theta\mid D)$ 是更新后的参数分布。
• 后验预测 $p(y_{\ast}\mid x_{\ast},D)$ 是面向应用的结果。

3.3.2 贝叶斯更新的核心思想

贝叶斯更新可概括为：

$$\text{后验认知} \propto \text{已有认知}\times\text{新证据支持度}$$

数学形式：

$$p(\theta\mid D)\propto p(\theta)p(D\mid\theta)$$

每增加一批新数据 $D_{\mathrm{new}}$：

$$p(\theta\mid D,D_{\mathrm{new}})\propto p(D_{\mathrm{new}}\mid\theta)p(\theta\mid D)$$

旧后验可以成为新先验。

3.3.3 顺序更新：逐批实验的自然框架

材料实验通常不是一次性完成，而是逐批进行：

1. 根据文献确定初始工艺窗口。
2. 进行第一批实验，更新性能模型。
3. 根据后验不确定性选择下一批实验。
4. 继续更新，直到满足设计目标。

贝叶斯顺序更新：

$$p(\theta\mid D_1,D_2)=\frac{p(D_2\mid\theta)p(\theta\mid D_1)}{p(D_2\mid D_1)}$$

例3：Beta-Binomial 缺陷率更新

设缺陷率为 $q$，它是一个概率参数：

$$0\leq q\leq 1$$

用 Beta 分布作为先验：

$$q\sim \mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$$

若检测 $n$ 个样品，其中 $k$ 个有缺陷，则似然为二项分布：

$$p(k\mid q)=\binom{n}{k}q^k(1-q)^{n-k}$$

Beta-Binomial 的后验更新

Beta 先验与二项似然共轭，后验仍为 Beta 分布：

$$q\mid k,n\sim\mathrm{Beta}(\alpha+k,\beta+n-k)$$

后验均值为：

$$\mathbb{E}[q\mid k,n]=\frac{\alpha+k}{\alpha+\beta+n}$$

解释：

• $\alpha$ 可理解为先验缺陷样本数。
• $\beta$ 可理解为先验合格样本数。
• 新实验把计数加到先验上。

3.3.4 先验强度：经验影响有多大？

Beta 先验中，$\alpha+\beta$ 可理解为先验强度。

若 $\alpha+\beta$ 很小：

$$\text{数据主导后验}$$

若 $\alpha+\beta$ 很大：

$$\text{先验强烈约束后验}$$

材料小样本建模中，先验强度必须与文献可靠性、实验一致性和物理约束相匹配。

3.3.5 先验敏感性分析

为了避免先验任意性，应比较多组先验：

$$p_1(\theta),\quad p_2(\theta),\quad p_3(\theta)$$

观察后验结论是否稳定：

$$p(\theta\mid D,p_1),\quad p(\theta\mid D,p_2),\quad p(\theta\mid D,p_3)$$

若结论高度依赖某一先验，需要谨慎解释。

材料论文中应报告先验来源和敏感性。

3.3.8 材料案例：合金强度经验先验

假设某合金强度模型为：

$$\sigma_y=\theta_0+\theta_1 c+\varepsilon$$

其中 $c$ 为强化元素含量。

根据历史经验：元素增加通常提高强度，因此可设：

$$\theta_1\sim\mathcal{N}^{+}(\mu_1,\tau_1^2)$$

其中 $\mathcal{N}^{+}$ 表示截断在正区间的正态分布。

该先验表达的是“强化效应大概率为正”。

3.3 小结

贝叶斯思想的核心不是复杂公式，而是科学认知过程：

$$\text{经验知识} + \text{新实验数据} \rightarrow \text{更新后的不确定性认识}$$

对材料科学尤其重要：

• 数据往往昂贵且小样本。
• 物理知识和文献经验丰富。
• 决策需要考虑风险和不确定性。
• 模型应能随新数据持续更新。

3.4.1 为什么需要点估计？

完整贝叶斯推断输出后验分布：

$$p(\theta\mid D)$$

但工程应用中常常还需要一个代表性参数：

• 用于快速预测。
• 用于模型部署。
• 用于与传统方法比较。
• 用于课堂手算与程序实现。

点估计是对分布信息的压缩，不应替代不确定性分析。

3.4.2 最大似然估计 MLE

最大似然估计选择最能解释数据的参数：

$$\hat{\theta}_{\mathrm{MLE}}=\arg\max_{\theta}p(D\mid\theta)$$

等价于最大化对数似然：

$$\hat{\theta}_{\mathrm{MLE}}=\arg\max_{\theta}\ell(\theta;D)$$

其中：

$$\ell(\theta;D)=\log p(D\mid\theta)$$

正态均值 MLE 结果

对目标函数求导：

$$\frac{d}{d\mu}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\mu)^2=-2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\mu)$$

令导数为零：

$$\sum_{i=1}^{n}(y_i-\mu)=0$$

得到：

$$\hat{\mu}_{\mathrm{MLE}}=\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$$

3.4.3 最大后验估计 MAP

最大后验估计选择后验概率最大的参数：

$$\hat{\theta}_{\mathrm{MAP}}=\arg\max_{\theta}p(\theta\mid D)$$

由于：

$$p(\theta\mid D)\propto p(D\mid\theta)p(\theta)$$

所以：

$$\hat{\theta}_{\mathrm{MAP}}=\arg\max_{\theta}\left[\log p(D\mid\theta)+\log p(\theta)\right]$$

MAP 的直观解释

MAP 同时考虑两个因素：

1. 参数能否解释数据：$p(D\mid\theta)$。
2. 参数是否符合先验知识：$p(\theta)$。

因此：

$$\text{MAP}=\text{数据拟合}+\text{先验约束}$$

在小样本材料问题中，MAP 常比 MLE 更稳定。

例5：正态先验下的 MAP

仍设：

$$y_i\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$$

加入先验：

$$\mu\sim\mathcal{N}(\mu_0,\tau_0^2)$$

后验满足：

$$p(\mu\mid D)\propto p(D\mid\mu)p(\mu)$$

MAP 是后验分布的峰值位置。

正态均值 MAP 结果

正态-正态共轭下，后验均值为：

$$\mu_n=\frac{\frac{n}{\sigma^2}\bar{y}+\frac{1}{\tau_0^2}\mu_0}{\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\tau_0^2}}$$

后验方差为：

$$\tau_n^2=\left(\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\tau_0^2}\right)^{-1}$$

此时 MAP 与后验均值相同：

$$\hat{\mu}_{\mathrm{MAP}}=\mu_n$$

MAP 是加权平均

后验均值可理解为先验均值与样本均值的加权平均：

$$\mu_n=w\bar{y}+(1-w)\mu_0$$

其中：

$$w=\frac{\frac{n}{\sigma^2}}{\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\tau_0^2}}$$

解释：

• 样本量 $n$ 越大，$\bar{y}$ 权重越大。
• 先验方差 $\tau_0^2$ 越小，先验均值权重越大。

3.4.5 MAP 与正则化

若线性回归误差为正态分布，并设参数先验：

$$\theta\sim\mathcal{N}(0,\tau^2 I)$$

则 MAP 等价于最小化：

$$\sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i^T\theta)^2+\lambda\lVert\theta\rVert_2^2$$

这就是岭回归形式。

其中 $\lambda$ 与噪声方差和先验方差有关。

3.4.6 不要把 MAP 等同完整贝叶斯

MAP 只取后验分布的最大点：

$$\hat{\theta}_{\mathrm{MAP}}=\arg\max_{\theta}p(\theta\mid D)$$

但完整贝叶斯还关心：

$$\mathrm{Var}(\theta\mid D)$$

以及：

$$p(y_{\ast}\mid x_{\ast},D)$$

若只给 MAP 而不给不确定性，贝叶斯方法的优势会被削弱。

3.4 小结

本节核心关系：

$$\text{MLE}:\quad \hat{\theta}=\arg\max_{\theta}p(D\mid\theta)$$

$$\text{MAP}:\quad \hat{\theta}=\arg\max_{\theta}p(D\mid\theta)p(\theta)$$

理解要点：

• MLE 只看数据。
• MAP 同时看数据和先验。
• 正则化可以从先验角度解释。
• 点估计不能替代不确定性分析。

3.5.1 为什么必须量化不确定性？

仅给出一个预测值通常不足以支撑工程决策：

$$\hat{y}=1020\ \mathrm{MPa}$$

关键问题是：

• 预测误差可能有多大？
• 是否可靠地超过设计阈值？
• 新成分是否处于训练数据外推区？
• 是否值得开展下一轮实验？

可靠 AI 模型必须同时输出预测值与不确定性。

3.5.3 参数不确定性

参数后验分布描述参数不确定性：

$$p(\theta\mid D)$$

如果后验很窄，表示参数较确定；如果后验很宽，表示参数仍不确定。

后验方差：

$$\mathrm{Var}(\theta\mid D)=\mathbb{E}\left[(\theta-\mathbb{E}[\theta\mid D])^2\mid D\right]$$

材料模型参数的不确定性会传递到性能预测中。

3.5.4 预测不确定性

预测分布：

$$p(y_{\ast}\mid x_{\ast},D)=\int p(y_{\ast}\mid x_{\ast},\theta)p(\theta\mid D)\,d\theta$$

预测方差通常包括：

$$\text{预测不确定性}=\text{参数不确定性}+\text{噪声不确定性}$$

若模型在某一区域缺乏训练数据，参数不确定性应显著增大。

可信区间定义

若区间 $[a,b]$ 满足：

$$P(a\leq \theta \leq b\mid D)=0.95$$

则称其为 $95\%$ 可信区间。

常用分位数定义：

$$a=Q_{0.025}(\theta\mid D),\qquad b=Q_{0.975}(\theta\mid D)$$

其中 $Q_p$ 表示后验分布的第 $p$ 分位数。

3.5.6 预测区间

预测区间描述未来观测值的可能范围：

$$P(a\leq y_{\ast}\leq b\mid x_{\ast},D)=0.95$$

它通常比参数可信区间更宽，因为它包含：

• 参数不确定性。
• 测量噪声。
• 样品制备和组织波动。

工程验收更关心预测区间而非仅参数区间。

3.5.7 概率决策：从预测到行动

设设计阈值为 $y_{\mathrm{req}}$，材料满足要求的概率为：

$$P(y_{\ast}>y_{\mathrm{req}}\mid x_{\ast},D)$$

若要求可靠性至少为 $0.95$，则选择条件为：

$$P(y_{\ast}>y_{\mathrm{req}}\mid x_{\ast},D)>0.95$$

这比简单判断 $\hat{y}>y_{\mathrm{req}}$ 更稳健。

3.5.8 损失函数与最优决策

设行动为 $a$，真实结果为 $y$，损失函数为 $\mathcal{L}(a,y)$。

贝叶斯决策选择期望损失最小的行动：

$$a^{\ast}=\arg\min_{a}\mathbb{E}[\mathcal{L}(a,y)\mid D]$$

离散情形：

$$a^{\ast}=\arg\min_{a}\sum_y \mathcal{L}(a,y)p(y\mid D)$$

不同工程任务应使用不同损失函数。

3.5.9 校准：概率是否可信？

若模型声称某类样本成功概率为 $80\%$，则在大量这类样本中应约有 $80\%$ 成功。

这称为概率校准。

校准误差可理解为：

$$\text{Calibration Error}=\left|\text{预测概率}-\text{经验频率}\right|$$

高准确率但概率不校准的模型，不适合风险决策。

3.5.10 外推风险

模型在训练数据覆盖区域内较可靠：

$$x_{\ast}\in \mathcal{X}_{\mathrm{train}}$$

但在外推区域风险升高：

$$x_{\ast}\notin \mathcal{X}_{\mathrm{train}}$$

材料应用中外推常见于：

• 新合金体系。
• 新工艺窗口。
• 新表征设备。
• 新温度或服役环境。

可靠模型应能对外推区域给出更高不确定性。

3.5.11 探索与利用

材料实验设计存在两种目标：

• 利用：选择当前预测性能最好的方案。
• 探索：选择不确定性高、可能带来知识增益的方案。

典型采集函数形式：

$$a(x)=\mu(x)+\kappa\sigma(x)$$

其中：

• $\mu(x)$：预测均值。
• $\sigma(x)$：预测不确定性。
• $\kappa$：探索权重。

3.5 小结

本节核心是把模型输出转化为风险决策：

$$\text{预测均值} \rightarrow \text{预测分布} \rightarrow \text{满足要求的概率} \rightarrow \text{期望损失最小决策}$$

关键认识：

• 不确定性不是附属信息，而是决策依据。
• 小样本模型必须报告不确定性。
• 工程决策应考虑非对称损失和可靠性要求。

3.6.1 材料小样本的来源

材料数据难以像互联网数据那样大规模获取：

• 合成和制备成本高。
• 表征周期长，如 TEM、EBSD、同步辐射等。
• 性能测试破坏样品。
• 多因素耦合导致实验设计复杂。
• 文献数据分散且标准不统一。

因此材料机器学习常面对：

$$n\ll p \quad \text{或} \quad n\ \text{很小但实验成本很高}$$

3.6.3 小样本中的先验价值

小样本时，数据提供的信息有限：

$$p(\theta\mid D)\propto p(D\mid\theta)p(\theta)$$

当 $n$ 很小时，$p(\theta)$ 对后验影响较大。

合理先验可来自：

• 热力学约束。
• 动力学方程。
• 相图和相稳定性。
• 文献数据统计。
• 专家经验和工程边界。

3.6.5 贝叶斯线性回归用于材料性能预测

设性能与特征近似线性：

$$y=X\theta+\varepsilon,\qquad \varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2 I)$$

设参数先验：

$$\theta\sim\mathcal{N}(\theta_0,\Sigma_0)$$

则后验仍为正态分布：

$$\theta\mid D\sim\mathcal{N}(\theta_n,\Sigma_n)$$

3.6.6 高斯过程：直接对函数建模

高斯过程不是给参数先验，而是给函数先验：

$$f(x)\sim\mathcal{GP}(m(x),k(x,x'))$$

其中：

• $m(x)$：均值函数。
• $k(x,x')$：核函数，描述两个输入点响应的相关性。

高斯过程适合小样本响应面建模，因为它能自然输出：

$$\mu(x),\qquad \sigma(x)$$

高斯过程在材料设计中的意义

高斯过程适合以下材料问题：

• 成分—性能响应面样本少。
• 实验成本高，需要主动选择下一点。
• 需要同时给出预测均值和不确定性。
• 响应面具有一定平滑性。

典型任务：

$$\text{合金成分} \rightarrow \text{强度、硬度、腐蚀速率、相稳定性}$$

高斯过程也是贝叶斯优化中常用的代理模型。

3.6.7 贝叶斯优化的基本思想

目标：用尽可能少的实验找到最优材料或工艺：

$$x^{\ast}=\arg\max_x f(x)$$

每轮包含：

1. 用已有数据训练代理模型。
2. 根据采集函数选择下一实验点。
3. 做实验或计算，获得新数据。
4. 更新模型并重复。

这是一种“模型—实验—反馈”的闭环策略。

采集函数：平衡探索与利用

上置信界采集函数：

$$a_{\mathrm{UCB}}(x)=\mu(x)+\kappa\sigma(x)$$

含义：

• $\mu(x)$ 高：当前预测性能好，偏向利用。
• $\sigma(x)$ 高：模型不确定，偏向探索。
• $\kappa$ 大：更重视探索。

材料研发中，探索能避免过早陷入局部工艺窗口。

3.6.8 小样本分类：组织类别预测

显微组织类别预测可写为：

$$P(c\mid x,D)$$

其中 $c$ 是组织类别，例如：

• 等轴晶。
• 柱状晶。
• 混合晶。
• 马氏体、奥氏体、铁素体。

分类决策不应只看最大概率类别，还应关注：

$$\max_c P(c\mid x,D)$$

若最大概率不高，说明分类不确定。

3.6.9 文献数据中的贝叶斯思路

文献数据常存在来源差异：

• 不同实验室。
• 不同测试标准。
• 不同热处理制度。
• 不同成分标注精度。

可使用层级模型：

$$y_{ij}\sim\mathcal{N}(\mu_j,\sigma_j^2)$$

$$\mu_j\sim\mathcal{N}(\mu_0,\tau^2)$$

其中 $j$ 表示不同文献或实验来源。

多保真融合的简化模型

设真实材料性能函数为 $f(x)$，低保真观测为：

$$y_L(x)=f_L(x)+\varepsilon_L$$

高保真观测为：

$$y_H(x)=\rho f_L(x)+\delta(x)+\varepsilon_H$$

其中：

• $\rho$：低保真与高保真之间的比例关系。
• $\delta(x)$：系统偏差修正。
• $\varepsilon_L,\varepsilon_H$：不同噪声水平。

案例解释：小样本下如何报告结论

不建议只报告：

$$\hat{\mu}=\text{某一个数值}$$

更合理的报告方式：

• 后验均值：当前对平均强度的最佳估计。
• 后验标准差：参数仍有多大不确定性。
• $95\%$ 可信区间：平均强度可能范围。
• 超过设计阈值的概率：是否满足工程要求。

这更符合材料研发中的风险表达需求。

3.6 小结

材料小样本贝叶斯方法的价值在于：

$$\text{小数据}+\text{物理知识}+\text{不确定性量化}+\text{主动实验}$$

它适合处理：

• 高成本实验。
• 成分—工艺—组织—性能复杂映射。
• 多保真数据融合。
• 可靠性要求高的工程决策。

本章总结：一条主线

本章主线可以概括为：

$$\text{条件概率} \rightarrow \text{贝叶斯定理} \rightarrow \text{参数后验} \rightarrow \text{不确定性决策} \rightarrow \text{材料小样本建模}$$

核心公式：

$$p(\theta\mid D)=\frac{p(D\mid\theta)p(\theta)}{p(D)}$$

核心思想：科学结论不是一次性给出，而是在证据积累中持续更新。

作业提示：可使用的公式

后验方差：

$$\tau_n^2=\left(\frac{n}{\sigma^2}+\frac{1}{\tau_0^2}\right)^{-1}$$

后验均值：

$$\mu_n=\tau_n^2\left(\frac{n\bar{y}}{\sigma^2}+\frac{\mu_0}{\tau_0^2}\right)$$

超过阈值 $T$ 的概率：

$$P(\mu>T\mid D)=1-\Phi\left(\frac{T-\mu_n}{\tau_n}\right)$$

延伸阅读与下一章衔接

本章为后续内容奠定概率基础：

• 第4章机器学习：损失函数、泛化误差与模型评估。
• 第5章深度学习：深度模型的不确定性与校准。
• 第8章主动学习与贝叶斯优化：用不确定性指导实验设计。
• 第9章材料数据库：数据来源差异与多保真融合。

下一章将进入机器学习建模流程：

$$\text{数据} \rightarrow \text{特征} \rightarrow \text{模型} \rightarrow \text{评估} \rightarrow \text{应用}$$